Sistemas de Ecuaciones Lineales en un Mapa Conceptual

Un ejemplo de mapa conceptual sobre Sistemas de Ecuaciones Lineales con Cmap Tools

Para leer algo más MAPAS CONCEPTUALES Y APRENDIZAJE DE MATEMÁTICAS

Gramática Usual y Lenguaje Matemático

A los visitantes de mi blog, les dejo un link con la relación del lenguaje matemático y el lenguaje usual:
https://docs.google.com/document/d/1oTuRhmuGjxvZoUDvCivLR5ZtIk_aPP6wdgdwMehH7pY/edit

He contactado en Twiter a:

Paola Dellepiane ‏ @paoladel
Profesora en matemática y Licenciada en Tecnología educativa. Apasionada por el mundo de las #redessociales, comunidades de aprendizaje, #PLE...

Operaciones Matemáticas en la Antigua Roma

Para adentrarnos en la aritmética de los números romanos, tomaré con pocas variaciones el articulo de Gausianos "Operar con números romanos", lo que resulta similar a las "Operaciones Matemáticas en el Antiguo Egipto"

Suma de números romanos


Para sumar números romanos debemos seguir los siguientes pasos:

1. Convertimos las restas en sumas. Por ejemplo, IX debería ser reescrito como VIIII
2. Concatenamos los dos números que queremos sumar
3. Ordenamos los símbolos en orden decreciente según su valor
4. Hacemos sumas internas de derecha a izquierda. Por ejemplo, si aparece IIIII lo reemplazamos por V
5. Volvemos a convertir a restas en los lugares donde sea necesario para respetar las reglas de escritura antes descritas (Para registrar Cuántos?... Sistemas de Numeración)

Vamos a ver un ejemplo: 145 + 79. En números romanos: CXLV + LXXIX

1. CXLV pasa a CXXXXV. LXXIX pasa a LXXVIIII
2. Concatenamos: CXXXXVLXXVIIII
3. Ordenamos: CLXXXXXXVVIIII
4. Sumas: VV pasa a X. Queda CLXXXXXXXIIII. XXXXXXX pasa a LXX. Queda CLLXXIIII. Y LL pasa a C. Queda CCXXIIII
5. Pasamos a restas en los lugares donde corresponda: IIII pasa a IV. Nos queda el resultado deseado: CCXXIV = 224

Resta de números romanos

La resta de números romanos es algo más sencilla que la suma. Los pasos a seguir para A – B son los siguientes:

1. Convertimos las restas en sumas
2. Eliminamos los símbolos comunes a A y a B
3. Para el símbolo más grande que quede en B expandimos tomamos el primer símbolo de A mayor que él y lo expandimos. Después volvemos a aplicar el paso 2. Hacemos esto las veces que sea necesario
4. Volvemos a pasar a restas donde sea necesario

Vamos con un ejemplo: 241 – 85. En números romanos: CCXLI – LXXXV

1. CCXLI pasa a CCXXXXI. LXXXV queda igual
2. Quitamos XXX de cada uno de ellos. Quedan CCXI y LV
3. Como L es el símbolo más grande del segundo número expandimos una C del primero como LXXXXX. Quedan CLXXXXXXI y LV. Quitamos L de los dos y quedan CXXXXXXI y V. Como V es el único símbolo que queda expandimos una X del primero como VIIIII. Quedan CXXXXXVIIIIII y V. Quitamos V de los dos y nos queda CXXXXXIIIIII. Colocando el número siguiendo las reglas de escritura queda CLVI
4. En este caso no hace falta pasar a restas. El resultado es CLVI = 156

Multiplicación de números romanos

La multiplicación de números romanos nos trae las primeras complicaciones realmente serias. No hay formas sencillas de realizarla. En principio podríamos pensar en lo más evidente: hacer sumas sucesivas. Pero eso no es demasiado útil si tenemos números grandes. Vamos a ver una manera de hacer ese tipo de multiplicaciones en la que tendremos que suponer que sabemos multiplicar y dividir por dos un número romano (calcular el doble o la mitad de un número es sencillo sin necesidad de reglas multiplicación y de división):
Para calcular A·B formamos dos columnas y colocamos A en la de la izquierda y B en la de la derecha. Pasos a seguir:

1. Dividimos A entre 2 y escribimos el cociente de la división debajo de A. Por ejemplo, si A es 15 escribiremos debajo 7
2. Multiplicamos B por 2 y escribimos el resultado debajo de B
3. Repetimos los pasos 1.- y 2.- con los números que vamos obteniendo hasta que ne la columna de la izquierda aparezca un 1.
4. Tachamos de la tabla resultante todas las filas en las que el número de la izquierda sea par
5. Sumamos los números que nos hayan quedado en la columna de la derecha. El resultado de esta suma es el resultado de A·B

Vamos con un ejemplo. Vamos a hacer 45·29. En números romanos XLV·XXIX. Construímos la tabla:

Tachamos las filas donde el número de la izquierda es par. Nos queda la siguiente tabla:

Sumamos los números que han quedado en la columna de la derecha utilizando la regla de la suma que hemos visto anteriormente:
XXIX + CXVI + CCXXXII + CMXXVIII =
= XXVIIII + CXVI + CCXXXII + DCCCCXXVIII =
Concatenamos y ordenamos de mayor a menor valor
= DCCCCCCCXXXXXXXXVVVIIIIIIIIII =
= DCCCCCCCXXXXXXXXVVVVV =
= DCCCCCCCXXXXXXXXXXV =
= DCCCCCCCCV =
= DDCCCV =
= MCCCV
Y nos queda el resultado deseado: MCCCV = 1305

División de números romanos

Con la división de números romanos es con la operación con la que nos encontramos más problemas. Al parecer no existen reglas generales para poder realizarla. Simplemente nos queda restar el divisor al dividendo hasta que lleguemos a un número menor que el divisor. El número de veces que hayamos restado será el cociente de la división. Por ejemplo, para 23/5 quedaría:

23 – 5 = 18; 18 – 5 = 13; 13 – 5 = 8; 8 – 5 = 3

Resto = 3; Cociente = 4 (hemos restado 5 cuatro veces)

Otra opción que tenemos es buscar algún factor común a los dos números que queremos dividir. Así, antes de comenzar la división podemos simplificar los dos números por ese factor y las operaciones a realizar serán más sencillas al operar con números más pequeños.

Uno de los motivos por los que la numeración romana sucumbió frente a la arábiga fue la dificultad para realizar operaciones como el producto y la división.  Estas se hacen extremadamente duras de usar cuando tratamos con números relativamente grandes.

De todas formas como hemos podido ver el sistema es tan curioso e imaginativo que por sí solo tiene interés. Las reglas que tenemos para operar y la forma de uso de las mismas hacen que el sistema se aún más atrayente.

Podemos consultar también:
Numeración romana: su carencia de practicidad resulta molesta.  http://www.microsiervos.com/archivo/ciencia/numeracion-roman.html
Un tipo diferente de la multiplicación
http://www.phy6.org/outreach/edu/roman.htm

Operaciones Matemáticas en el Antiguo Egipto

Los antiguos egipcios operaban con números naturales y fracciones unitarias, basando su aritmética en el principio aditivo, la capacidad de multiplicar y dividir por dos y la capacidad de hallar los dos tercios de cualquier número.

Sumar  y restar en el Antiguo Egipto
En el papiro de Ahmes o Rhin las operaciones de sumar y restar aparecen representadas por un dibujo esquemático de las piernas de una  persona que se acerca y que se aleja.
Para sumar y restar se limitaban a combinar y cancelar los diferentes símbolos, hasta llegar al resultado:
364 + 752 = 1.116

135 - 84 = 51

Multiplicar  y dividir en el Antiguo Egipto

Para multiplicar y dividir realizaban procesos aditivos de sucesivas duplicaciones: 

25 x 42 = 1.050

1.050 ÷ 42 = 25

Para ampliar el tema:
Las Matemáticas en el Antiguo Egipto. Aritmética. operaciones Básicas. http://www.egiptologia.org/ciencia/matematicas/aritmetica.htm
Método egipcio para multiplicar http://recursosparaeleducador.blogspot.com/2008/04/mtodo-egipcio-para-multiplicar.html
La división en el Antiguo Egipto. http://recursosparaeleducador.blogspot.com/2008/04/la-divisin-en-el-antiguo-egipto.html

Operaciones Matemáticas ...

MATEMÁTICA EN LA VIDA

Matemática en todos los problemas,

que a diario se presentan en la vida.

Sus normas hoy, en todos los esquemas,

tienen aplicación, tienen cabida.

Para ser eficaz en el ambiente,

asimila el sentir de operación.

SUMA, RESTA, el PRODUCTO y el COCIENTE,

con POTENCIA y RAIZ son solución.

Si quieres ser feliz y hacer felices,

¡ escucha !, MATEMÁTICA te dice:

SUMAR esfuerzos y RESTAR temores,

MULTIPLICAR el bien todos los días.

Repartiendo sonrisas y favores,

DIVIDIR, para dar con alegría.

Para ver reflejado en actitudes,

ese dar sin medir, el más perfecto,

ELEVAR a POTENCIA, las virtudes,

y EXTRAER la RAIZ de los defectos.

Herminia María Abat

Bibliografía: Abat, Herminia María. Matemática en Poesía. Buenos Aires, Talleres de Brown 865 - Bahía Blanca, 1983.

Geometría... razonamiento visual sobre formas

Además de símbolos para los números, el ser humano usa imágenes para razonar sobre las formas que encuentra en la naturaleza que lo rodea.
Así en los tiempos prehistóricos dibujó formas geométricas en cuevas, vasijas, tejidos.. donde con su intuición visual puso de manifiesto ejemplos de semejanza y simetría.

Pinturas realizadas hace 9300 años en las cuevas del río Pinturas, Chubut, Argentina.

Vasija de cerámica (10.000- 8.000 a.C.) Museo Nacional de Tokio

Manta de fibra vegetal con decoración pintada (6.000 - 1.000a.C.)

Representaciones en piedra de los cinco poliedros regulares en yacimiento paleolítico.

También las antiguas civilizaciones han dejado sus dibujos geométricos sobre piedras,  papiros, tablillas de arcilla ...

Pirámides de Egipto

Papiro de Rhind o Ahmes

Tablilla babilónica BM 15285

Tablilla babilónica Yale YBC 7289

Dibujo caligráfico zen japonés, representa armoniosamente la creación

De esta manera la humanidad dejó sus primeros registros geométricos, que van a dar origen a la rama de la matemática: Geometría del griego geo: tierra y metron: medida

Para registrar Cuántos?... Sistemas de Numeración

Todo Sistema de de Numeración está definido por un "Conjunto de Símbolos" y un conjunto de "reglas" de formación.
El conjunto de símbolos (palabras, pictogramas, signos gráficos) es finito.

El conjunto de reglas está formado por ciertos principios de formación que adopta el sistema:

Principio Repetitivo: como el conjunto de símbolos es finito y el conjunto de números a simbolizar es infinito, es necesario usar un mismo símbolo más de una vez en la representación de los números.

Principio de Agrupamiento: interrumpe la repetición de símbolos individuales para establecer un símbolo de orden superior. El número que marca el cambio se llama "Base del Sistema".

Principio de Orden o Alineación: que permite distinguir el primer símbolo del segundo y así sucesivamente.

Principio Aditivo: los símbolos para el uno, la base y múltiplos o potencias de la base; usados repetidamente se suman para obtener número representado.

El sistema Jeroglífico Egipcio:
Es un sistema repetitivo aditivo, de base 10, el orden en que se escriben los símbolos es indistinto.



El Sistema Jónico o Alfabético Griego:

Es un sistema aditivo, de base 10.  Utiliza las 24 letras del alfabeto griego más otros tres símbolos fuera de uso (digamma, koppa y sampi), inicialmente en mayúsculas y posteriormente en minúsculas que se diferencian de las letras agregando una prima o acento.  Para los números mayores de 10.000 usaban M y el principio multiplicativo.


Principio Sustractivo: cuando hay símbolos que en determinada situación, restan para obtener el número representado.

Principio Multiplicativo: cuando hay símbolos que multiplican para obtener el número representado.

Sistema Romano:

Es un sistema repetitivo (hasta tres veces) aditivo  y multiplicativo; de base 5 y 10.  Los símbolos V, L y D no se repiten, los símbolos I, X y C antepuestos a los símbolos de una unidad superior restan, una barra encima del símbolo lo multiplica por 1.000 y una doble barra por 1.000.000.

Sistema Multiplicativo Chino:

Es un sistema aditivo y multiplicativo por grupos, de base 10.  Los símbolos unidad se multiplican por las potencias de 10, de izquierda a derecha.



Principio de Posición: cuando el valor del símbolo está determinado por la posición o lugar que ocupa el símbolo.

Sistema Cuneiforme Babilónico:
Es un sistema posicional mixto de base 10 y 60.  Utiliza el principio repetitivo, la unidad se repite hasta 9 veces y la decena hasta 5 veces para representar hasta el número 59, a partir de 60 utiliza el principio posicional sexagesimal.  No posee símbolo para representar el cero, solo tiene un cero separador .

Sistema Maya:

Es un sistema posicional de base 5 y 20. Utiliza el principio repetitivo, la unidad se repite hasta 4 veces y el símbolo para el 5 se repite hasta 3 veces, hasta el 19, a partir de 20 utiliza el principio posicional vigesimal. Posee símbolo para la posición vacía, el cero maya.


Sistema Indo-arábigo de donde deriva el Sistema Decimal de Posición:

El sistema de numeración decimal es un sistema posicional, pero no el único. Es un sistema de base diez, pero no el único, es un sistema aditivo, pero todos los sistemas son aditivos. Es un sistema que utiliza 10 símbolos y ésta característica es única.















Para finalizar les dejo un video:



y el link a la lámina de Lolita Brain: Los Números ...¡Vaya Historia!

La matemática comenzó con los números para contar ...

Para expresar la cantidad que respondía a la pregunta ¿cuántos? el hombre de Neandertal uso las primeras marcas numéricas en huesos, piedras, maderas. La marca fue una muesca para cada cosa contada. usando agrupaciones de 5,10, 20, ... elementos

El 02/03/2007 el diario El País de España publicaba un articulo con el título "Las matemáticas vienen de África", refiriéndose a los huesos hallados en Ishango.

En numerosas civilizaciones el hombre uso su cuerpo, dándole a sus partes (manos, pies, falanges, ...) valores numéricos.

Las civilizaciones babilónica, egipcia, griega, china, japonesa, india, maya, azteca, inca...
utilizaron distintos símbolos para estos números, reemplazando a las muescas y a las partes del cuerpo.

Los números que usamos para contar son los Números Naturales, cuyo primer elemento es el UNO, tal como lo dice el Martín Fierro.

Pi Un Número con Historia

Pi número irracional, no se puede escribir como el cociente entre dos números, su expresión decimal es infinita y no sigue un patrón predecible; y trascendente, no es raíz de una ecuación de coeficientes enteros. 
Definido como la constante que relaciona el perímetro de la circunferencia con su diámetro.  
Ha puesto en evidencia la noción de límite desde muy temprano en la historia de la matemática.
Fue Arquímedes (siglo VI a. C,), el gran siracusano, quien inició el cálculo de pi, mediante sucesivas aproximaciones de poligonos insriptos y circunscritos a una circunferencia y obtuvo que pi esta comprendido entre 223/71 y 220/70.
Son muchos los matemáticos que a través de la historia han calculado mayores aproximaciones de Pi.
Aún hoy se siguen calculando cifras decimales de pi, no sólo por diversión, sino también para  probar los límites de los ordenadores.
El 16 de octubre, Shigeru Kondo y Alexander J. Yee, han llegado a un nuevo récord de 10 billones de cifras decimales para pi. 
Agradezco al post de Gaussianos haber conocido esta última noticia.


Espero disfruten de los links!!

Matemáticas ¿para qué sirven?

Al responder a la pregunta ¿Qué es la matemática?  He dicho que es la ciencia y el arte de resolver problemas de la realidad física ó mental.

Esto significa que la matemática va a resolver problemas de la realidad física, concreta, desarrollando de este modo una matemática aplicada, para la cual podemos comunicar fácilmente para qué sirve, pues va responder problemas concretos.  Por ejemplo podrá dar respuesta a la pregunta ¿a qué importe tengo que facturar un trabajo realizado, incluyendo el 21% del IVA que debo pagar a la AFIP, si quiero que me queden libres $ 1.200? y cómo da respuesta al problema concreto que debo resolver puedo responder fácilmente para qué sirve.

Pero también va a resolver problemas de la realidad mental ó imaginaria, que en principio sólo tienen interés para la mente que se los plantea y dan lugar a la matemática pura. Por ejemplo el matemático irlandés Willam Rowan Hamilton (1805-1865) pudo dar respuesta a la pregunta ¿cómo multiplicar cuaterniones (cuaternas)?  después de varios años de buscar multiplicar tripletes, logrando la extensión de los números complejos y cómo no da respuesta a un problema concreto es difícil responder para qué sirve.  Este descubrimiento matemático se generó por la pura creatividad mental de alguien que buscó con verdadera pasión por la sabiduría.  Después llegaran las aplicaciones …

Por eso podemos decir que las matemáticas forman parte tanto del mundo de los negocios como del mundo del ocio (ocio creativo).

Para seguir leyendo:
Post de Gaussianos que ganó el Premio al Mejor Post de la Edición 2.6 del Carnaval de Matemáticas: http://gaussianos.com/sobre-la-utilidad-directa-de-las-matematicas/

¿Qué es la matemática?

Ciclo de la Matemática

Muchos autores han comenzado intentando dar respuesta a esta pregunta y todos coinciden en que cualquier definición que podamos dar es imprecisa, pues como ciencia de construcción humana va siendo definida por su evolución histórica y por las concepciones que de ella tienen sus más destacados exponentes en cada tiempo histórico.

De acuerdo con la concepción que de ella manifiesta el profesor español  Miguel de Guzmán (1936-2004) en su obra Tendencias innovadoras en educación matemática, respondería que la Matemática es la ciencia y el arte de resolver problemas de la realidad, tanto física como mental, posibles de ser tratados mediante una simbolización adecuada, una manipulación lógico-racional rigurosa para el logro efectivo de la realidad a la que se dirige.
La construcción matemática comienza, tal como lo dice el Martín Fierro de José Hernández:

"Uno es el sol, uno el mundo,

sola y única es la luna;

ansi, han de saber que Dios

no crió cantidá ninguna.

El ser de todos los seres

solo formó la unidá;

lo demas lo ha criado el hombre

despues que aprendió á contar"

Y lo hace desde sus dos aspectos: el utilitario, de la matemática aplicada, y el idealista, de la matemática pura. En ambos aspectos la matemática es profunda, sus aplicaciones son necesarias para la vida cotidiana y sus ideales alimentan los valores más puros del espíritu humano tales como la verdad y la belleza.  Usando las palabras del poema 175 de Juan Ramón Jiménez aplicadas a la matemática, podríamos decir:

“sus pies, ¡qué hondos en la tierra!

sus alas, ¡qué altas en el cielo!”

Para seguir leyendo:
Nota de Adrian Paenza en el diario Pagina12
http://www.pagina12.com.ar/diario/contratapa/13-63704-2006-03-01.html